Измерения составляют основное содержание всех видов маркшейдерских и геодезических работ, связанных с получением количественных характеристик изучаемых объектов. Качество выполненных измерений характеризуется их точностью.

Теория математической обработки измерений разрабатывает рациональные приемы и методы обработки результатов измерений и оценки их точности. Все величины, используемые в маркшейдерско-геодезической практике, можно разделить на измеренные и вычисленные. При этом измерением называется процесс сравнение определяемой величины с однородной ей величиной, принятой за единицу измерения. Результат измерения выражается равенством

l = n·l₀,

где l₀ – единица измерения4

n – отношение измеряемой величины к единице измерения.

На качество результатов измерений влияют погрешности исполнителя, прибора и внешних условий. По точности результаты измерений делят на равноточные и неравноточные. Равноточными измерениями называются однородные результаты, полученные при измерениях искомой величины в одинаковых условиях (инструмент, метод измерения, число приемов, квалификация наблюдателя, внешние условия). При несоблюдении этих условий результаты измерений называются неравноточными.

При обработке все измерения, по сути, приводятся к равноточным путем введения соответствующих коэффициентов - весов. Влияние таких измерений на результаты вычислений оказывается одинаковым.

В теории математической обработки измерений важное значение имеют понятия необходимых и избыточных измеренных величин. Для решения любой геодезической задачи на местности необходимо измерить некоторое минимальное число величин. Эти величины и называют необходимыми. Их количество называют числом необходимых величин. Например, для определения всех сторон и углов плоского треугольника необходимо измерить три независимые его элемента: любую сторону и любые два угла или три стороны.

Разность числа всех измеренных и числа необходимых величин называют числом избыточных величин. Например, если в плоском треугольнике измерены три угла и одна сторона, то одно измерение избыточное.

В геодезической практике избыточные измеренные величины обязательны. Они дают возможность обнаружить промахи в измерениях и в вычислениях и повышают точность определения искомых величин. Проблема математической обработки измерений возникает из-за наличия избыточных измерений величин и погрешностей измерений.

Действительно, при отсутствии избыточных измерений искомые величины вычисляются по четким математическим зависимостям. Например, плоский треугольник решается по теореме синусов или косинусов. Такие расчеты бесконтрольны, возможны грубые ошибки, которые не исключаются при обработке, невозможно оценить точность измеренных и вычисленных величин. При решении большинства геодезических и маркшейдерских задач это недопустимо.

Таким образом, математическая обработка измерений сводится к определению вероятнейших значений измеренных величин, их функций и оценке точности результатов измерений и искомых величин.

Основные задачи математической обработки можно сформулировать следующим образом:

1.       изучение законов возникновения и распределения погрешностей измерений и вычислений;

2.       установление критериев для обнаружения в результатах измерений систематических погрешностей и промахов;

3.       определение вероятнейших значений измеряемых величин по результатам их многократных измерений;

4.       предрасчет ожидаемой точности и оценка точности полученных результатов измерений;

5.       характеристика точности окончательных значений измеренных величин по результатам математической обработки измерений;

6.       установление силы и формы связи между измерениями и их погрешностями.

Дисциплина "Математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений” включает в себя: теорию погрешностей измерений и метод наименьших квадратов. При этом теория погрешностей измерений основана на использовании понятий теории вероятностей и элементов математической статистики. Теория погрешностей измерений рассматривает вопросы обработки многократных измерений одной величины, ряда многократных двойных измерений, функций измеренных величин, интерполирование и аппроксимация измеренных значений функций.

Метод наименьших квадратов применяется при уравнивании геодезических сетей, при обработке избыточных измерений множества измеренных величин. Метод наименьших квадратов состоит в составлении и решении нормальных уравнений, определении функций измеренных величин с оценкой их точности. Этот метод сводится к определению вероятнейших поправок в результаты измерений, введение которых приводит к устранению несогласованности избыточных измерений. В методе наименьших квадратов поправки v в результаты измерений отыскиваются при условии

где р_i – вес i-того результата измерения